Derivada de e^x

La derivada de e^x es una de las búsquedas más populares para dar con la solución o buscar una explicación de la misma. Suele desconcertar bastante a los estudiantes, aunque es una de las tantas demostraciones tan bonitas dentro del mundo de las matemáticas.

Resolución rápida de e^x

Una explicación rápida es que debido a que no existe una fórmula que nos permita hacer la derivada de una constante sobre una variable, hay que comenzar elevando la variable, de esta forma tenemos el exponente en negativo.

En este momento con la elevada en negativo podemos aplicar la fórmula de una variable por una constante, quedando -1 * x^(-1-1)  que es igual a – x ^ (-2). Como no puede quedar un exponente negativo arriba de la fórmula, tenemos que dejar la fórmula de esta forma -1/x^2. Siendo la solución final.

Para una explicación más completa vamos a utilizar una demostración bastante sencilla de entender utilizando los límites.

Demostración de e^x  por definición de límites

Comenzaremos con la definición de e^x usando límites:

1. \(e = \lim_{n \to \infty} \left( 1+\frac{1}{n}\right)^n\) (1)

O lo que es lo mismo:

2. \(e=\lim_{n \to 0}\left( 1+n \right)^\frac{1}{n}\)(2)

Y lo haremos comenzando por la definición de las derivadas que no es más que el límite de la recta tangente.

3. \(\displaystyle \frac {dy}{dx}e^x = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{e^{x+\Delta x}-e^x}{\Delta x}\)

De aquí podemos observar que hay una suma de exponentes la cual podemos separar en una multiplicación de potencias de igual base, con esto la ecuación nos quedaría de la siguiente manera:

4. \(\displaystyle \frac {dy}{dx}e^x = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{e^xe^{\Delta x}-e^x}{\Delta x}\)

Y luego al sacarle factor común en el numerador nos queda:

5. \(\displaystyle \frac {dy}{dx}e^x = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{e^x\left(e^{\Delta x}-1\right)}{\Delta x}\)

Como el límite que estamos buscando es cuando delta x tiende a cero \(\Delta x \to 0\) podemos sacar a e^x fuera del límite, con lo que nos quedaría:

6. \(\displaystyle \frac {dy}{dx}e^x = e^x \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\left(e^{\Delta x}-1\right)}{\Delta x}\)

Lo que buscamos es que nuestro límite se parezca un poco a nuestras ecuaciones (1) y (2), para lograr esto haremos una sustitución, es decir, un cambio de variables.

7. \(n = e^{\Delta x} -1 \)

\(n + 1 = e^{\Delta x} -1 + 1\) \(\ln {\left(n+1\right)} = \Delta x\)

Con estos cambios de variables, nuestra expresión queda de la siguiente manera:

8. \(\displaystyle \frac {dy}{dx}e^x = e^x \lim_{n \to 0}\frac{n}{\ln {\left(n+1\right)}}\)

Si multiplicamos y dividimos por \(\frac {1}{n}\) nuestra expresión sería la siguiente:

9. \(\displaystyle \frac {dy}{dx}e^x = e^x \lim_{n \to 0}\frac{\frac{1}{n}n}{\frac{1}{n}\ln {\left(n+1\right)}}\)

Con lo que en el numerador se cancelarían multiplicando n y dividiendo n:

10. \(\displaystyle \frac {dy}{dx}e^x = e^x \lim_{n \to 0}\frac{1}{\frac{1}{n}\ln {\left(n+1\right)}}\)

Y en el denominador tendríamos que utilizar las propiedades de los logaritmos que dice que \(a\ln{b}=\ln{b^a}\) con lo que el numerador quedaría de la siguiente manera.

11. \(\displaystyle \frac {dy}{dx}e^x = e^x \lim_{n \to 0}\frac{1}{\ln {\left(1+n\right)^\frac{1}{n}}}\)

Usando la propiedad que dice que el límite del cociente es igual al cociente de los límites podremos dilucidar mejor que es lo que está pasando.

12. \(\displaystyle \frac {dy}{dx}e^x = e^x \frac{\lim_{n \to 0} 1}{\lim_{n \to 0} \ln {\left(1+n\right)^\frac{1}{n}}}\)

Como el límite de una constante es igual a la misma constante podremos resolver el límite del numerador. Y si volvemos a aplicar las propiedades de los límites en el denominador no queda nuestra expresión igual a la ecuación (2)

13. \(\displaystyle \frac {dy}{dx}e^x = e^x \frac{1}{\ln \left({\lim_{n \to 0}\left(1+n\right)^\frac{1}{n}}\right)}\)

Con esto nos queda casi resuelta nuestra demostración:

14. \(\displaystyle \frac {dy}{dx}e^x = e^x \frac{1}{\ln{e}}\)

Como sabemos, el logaritmo natural del número e es igual a 1. Y por consiguiente:

15. \(\displaystyle \frac {dy}{dx}e^x = e^x \frac{1}{1}\)

Con lo que finalmente queda demostrado que:

16. \(\displaystyle \frac {dy}{dx}e^x = e^x\)

Por lo que se demuestra que la derivada de e^x es de hecho e^x, esto nos deja ver una pequeña dimensión de la belleza de lo que es este número irracional que honra a su descubridor, el gran genio matemático Leonhard Euler.