Límites y continuidad y derivadas

Ejercicios resueltos de derivadas, límites y continuidad.

1. (Sydsaeter, prob. 1 de pág. 89 y prob. 9a de pág. 90). Dada la función f(x) = 4x², deducir razonadamente f ‘(5).

2. Halla, utilizando la definición, la derivada de la función en el punto x = 2.

Comprueba aplicando las reglas de derivación que tu resultado es correcto. (Sol. –3/25)

3. Aplicando la definición demuestra que la función no es derivable en x = 2. Da también un razonamiento gráfico.

4. Dada la función

a) ¿Para qué valores del parámetro a es continua? b) ¿Para qué valores de a es derivable?

(Sol. a) 1 o 2; b) 1)

5. Dada la función

1. ¿Para qué valores de los parámetros a y b es continua la función f (x)?
2. Determina a y b para que f(x) sea derivable en x = 0.

   (Sol. b = 5; a = 2)

   6. Calcula, simplificando el resultado, la derivada de la función:. Sol.

   7. Deriva y simplifica:    a)      b)

   Sol. a) ;b)

   8. Para las funciones del problema anterior, indica los puntos en los que la derivada vale 0.

   (Sol.
   a) Nunca; b) 1/5

   9. Deriva: a)     b)     c)

   Sol. a) ; b) ; c)

   10. Deriva: a)     b)     c)     d)

   Sol. a) ; b) ; c) ; d)
   

   11. Si y halla la derivada de las funciones y , aplicando la regla de la cadena. (Sol. ; )

   12. (Sydsaeter, prob. 15 de pág. 122). Si R = S^a, S = 1 + bK^g y K = At^p + B, hallar dR/dt.

   13. Halla la ecuación de la recta tangente a en el punto x = –1. Representa gráficamente la curva y la tangente. (Sol. )
   

   14. Halla la ecuación de la recta tangente a en el punto de abscisa x = 4. (S.)
   

   15. Halla los puntos de la curva en los que su tangente tiene pendiente 1. Halla la ecuación de esas tangentes. (Sol. y = x + 2 e y = x –2.)
   

   16. Comprueba que, en el punto x = 1, la función puede aproximarse por la recta . Utiliza ese resultado para hallar la raíz cuadrada de 1,1. (Sol. )
   

   17. (Sydsaeter, prob. 5a y 5e de pág. 131).Probar que (1 + x)^m
   » 1 + mx, para x próximo a 0, y usar lo anterior para hallar aproximaciones de los números siguientes:

   a) 1,1^1/3 = (1+ 1/10)^1/3    b)

   18. Calcula la diferencial de la función tag x en el punto para Dx = dx = 0,01. (Sol. 0,02.)

   19. (Sydsaeter, prob. 7 de pág. 131) El radio de una esfera aumenta de 2 a 2,03. Estimar el aumento de volumen usando una aproximación lineal. Comparar con el aumento real del volumen.

   20. (J/94). La derivada de orden n de es:

   (a)         (b)         (c)

   21. Halla la derivada n-ésima de . (Sol.

   22. (S/98). La función , en el punto x = 0 es:

3. Derivable pero no continua. b) Continua pero no derivable. c) Continua y derivable.

   23. Dada la función:

   ¿Existen valores de a para los cuales f sea derivable en toda la recta real? (Sol. para todo a.)

   24. (F–04). La función es derivable en x = 2 si:

• b = –2a     b) Sólo si a = –2 y b = 4    c) Ninguna de las anteriores.

25- (S–99)
La derivada de la función se anula en al menos un punto del intervalo

a) (1, 5)        b) [5, 10]        c) Ninguna de las anteriores.

26. (F–02) Dada , los valores de f ´(1) y f ´´(1) son, respectivamente:

a) 1 y 14         b) –1 y 4              c) –1 y –21/4

27. (F–02) La ecuación de la recta tangente a la curva en el punto de abscisa x = 1 es:

a)          b)         c) y = 2x

28. Deriva: a)     b)     c)     d) e)

Sol.
a) ;    b) ; c) ; d) e)

29. Deriva: a) b)     c)     d)     e)     f)

Sol.
a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f)

Otros ejercicios             (Sacados de 1º Bachillerato, McGraw–Hill; 2007)

30. Halla la derivada de las siguientes funciones:

a)     b)     c)

d)         e)

Solución:

a) ;     b) ;

c) ;     d) ;         e)

31. Deriva y simplifica (piensa si puedes utilizar las propiedades de los logaritmos):

a)     b)     c)     d)

Solución:

a) ;         b) ;        c) ;     d)

32. Deriva:

a) ; b) ; c) ; d) ; e)

Solución:

a) ; b) ; c) ; d) ;

e) ;

33. Deriva y simplifica cuando sea posible:

a)     b)     c)     d)     e)

[sol] a) ; b) ; c) ; d) ; e)

34. Deriva y simplifica:

a)     b)     c)     d)

[sol] a) ; b) ; c) ; d)

35. Deriva y simplifica:

a)     b)     c)

[sol] a) ; b) ; c) ; e)

36. Deriva:

a)     b)     c)     d) e)

[sol] a) ;    b) ; c) ; d)

e)

37. Deriva:

a)     b)     c)         d)     e)     f)

[sol] a) ; b) ; c) ; d)

e) ; f)

38. Deriva y simplifica (piensa si puedes utilizar las propiedades de los logaritmos):

a)     b)     c)     d)

e)     f)     g)     h)

[sol] a) ; b) ; c) ; d) ; e) ;

f) ; g) ; h)

39. Deriva y simplifica (piensa si puedes utilizar las propiedades de los logaritmos):

a)     b)     c)

d)      e)

[sol] a) ; b) ; c) Idem; d) ; e) y´=

40. a)     b)     c)     d)

[sol] a) ; b) ; c) ; d)

41. a)     b)     c)

[sol] a) ; b) ; c)

42. Deriva:

a)         b)     c)     d)

[sol] a) ; b) ; c) ;

d)

43. Deriva:

a)     b)     c)     d)

[sol] a) ; b) ;

c) ; d)

44. Deriva:

a)         b)         c)

[sol] a) ; b) ; c)

45. Deriva:

a)         b)         c)

[sol] a) ; b) ; c)

46. Deriva:

a)         b)     c)     d)

[sol] a) ; b) ; c) ; d)

47. Deriva:

a)     b)     c)

d)         e)

[sol] a) ; b) ; c)

d) ; e) Idem.

48. Deriva:

a)         b)         c)

d)         e)     f)

[sol] a) ; b) ; c)

d) ; e) ; f)