TEORÍA DE CAMPOS Y ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES

Definición 1.1.1 Sea n . Un campo escalar en  es simplemente una aplicación f =  Rⁿ R, donde  es un conjunto abierto. Si f es de clase C^k ( ), k  , es decir, si existen las derivadas parciales de f hasta orden k y además son continuas, entonces se dice que el campo escalar f es de clase C^K.

Definición 1.1.2 Dado un campo escalar f =  Rⁿ R, llamaremos conjuntos de nivel o equipotenciales M_C a los subconjuntos de  sobre los cuales f es constante, esto es,

                   M_c = { x : f (x)= c, siendo c una constante}

Definición 1.1.3 Sea  n . Se llama campo vectorial en  a toda aplicación F:  Rⁿ Rⁿ , donde  es un conjunto abierto. Si F es de clase C^k  ( ), k   , entonces se dice que le campo vectorial F es también de clase C^k  .

 Nótese que todo campo vectorial F esta compuesto por n-campos escalares componentes, es decir,

 F (x₁, x₂, …,x_n)=(F₁(x₁, x₂, …,x_n), F₂(x₁, x₂, …,x_n), …, F_n(x₁, x₂, …,x_n)) para todo x=(x₁, x₂, …,x_n) .

 Debido a las aplicaciones en física e ingeniería, a lo largo de este curso nos centraremos en los casos n=2 y n=3. Como hemos visto anteriormente, en las aplicaciones los campos escalares y vectoriales representan magnitudes o cantidades físicas (temperatura, velocidad, aceleración…).

 

1.2. OPERADORES DIFERENCIALES

En esta sección estudiaremos cuatro de los operadores diferenciales clásicos en Teoría de Campos: el gradiente, la divergencia, el rotacional y el Laplaciano. Estudiaremos dichos operadores en coordenadas cartesianas y dejaremos para la sección siguiente el problema del cambio de coordenadas.

En lo que sigue, dado x ⁿ ,por x = ( x₁ , x₂ ,…, x_n ) denotaremos las coordenadas de dicho vector en la base canónica de ⁿ.

Consideremos el operador nabla  que, en coordenadas cartesianas, se define como:

= .

Si f : ⁿ es un campo escalar de clase C¹, llamaremos gradiente de f al campo vectorial    : ^{n n} definido como:

   para todo x .

En dimensión 3 es bastante frecuente en física usar también la notación

donde i, j, k representan los tres vectores de la base canónica del espacio euclídeo tridimensional ³. A lo largo de este curso usaremos ambas notaciones. Así por ejemplo, el operador nabla aplicado al campo escalar f nos proporciona el gradiente de f, esto es,

 

 

 

 

 

En la práctica, el campo f suele depender de una variable temporal t y de tres variables espaciales , esto es,  . Por  denotaremos el gradiente respecto a las coordenadas espaciales. En los operadores que introduciremos a continuación seguiremos este mismo criterio, es decir, aunque los campos escalares dependan de la variable temporal t, omitiremos hacer referencia explicita a esta dependencia.

 

Definición 1.2.1.   Sea F un campo vectorial de clase C¹. Se define la divergencia de F, denotado como divF o también F  ó F, como el campo escalar

divF = .

Por supuesto la divergencia tiene una interpretación física. De manera informal, si imaginamos F como el campo de velocidad de un fluido, entonces divF representa la tasa de variación por unidad de volumen del flujo del fluido. Sin embargo aún no disponemos de suficiente bagaje matemático como para poder justificar adecuadamente esta afirmación. Lo haremos más adelante cuando estudiemos el Teorema de la Divergencia.

 

Definición 1.2.2.   Sea F un campo vectorial de clase C¹. Se define el rotacional de F, denotado como rotF o también F, como el campo vectorial

rotF = =

 

Cuando estudiemos el Teorema de Stokes veremos el significado físico del rotacional. Algunas relaciones básicas entre la divergencia y el rotacional están recogidas en la siguiente:

 

Proposición 1.2.1.

(a)    Sea  un campo escalar de clase C². Entonces

rot .

(b)   Sea F  un campo vectorial de clase C². Entonces

div rotF = 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

La demostración es un sencillo ejercicio de cálculo. En cualquier caso veamos (a). Por definición de rotacional se tiene

rot

debido a la igualdad de las derivadas cruzadas. El apartado (b) se demuestra de manera análoga. ■

 

Otro operador diferencial que aparece con mucha frecuencia en ingeniería es el Laplaciano. Dado un campo escalar  de clase C², el Laplaciano de  , denotado por o también , se define como la divergencia del gradiente de , esto es,

.

Más adelante en este curso nos ocuparemos más en detalle de este operador.

 

1.3. cambios de coordenadas

La elección de un sistema de coordenadas adecuado en el estudio de un problema físico es algo que permite simplificar notablemente el problema en cuestión. Así, en problemas con simetría esférica ( es decir, simetría respecto de un punto) resulta muy conveniente usar coordenadas esféricas mientras que un problema con simetría respecto de una recta son las coordenadas cilíndricas las que resultan más apropiadas. Además, dichos problemas físicos suelen involucrar los operadores gradiente, divergencia, rotacional y Laplaciano. En esta sección presentaremos ambos sistemas de coordenadas (esféricas y cilíndricas) y veremos como se escriben los operadores antes mencionados en dichos sistemas.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

COORDENADAS ESFÉRICAS.

 

Las coordenadas esféricas están relacionadas con las coordenadas cartesianas(x,y,z) por medio de las expresiones:

   Donde                                       (1.1)

Las coordenadas esféricas tienen asociadas tres vectores unitarios que denotaremos por . Cada uno de estos vectores son tangentes a la curva que se obtiene parametrizando por la variable correspondiente y manteniendo el resto constantes. Así por ejemplo, para calcular  todo lo que tenemos que hacer es derivar respecto de  y después dividir por la norma del vector que se obtiene con el fin de que  sea unitario. De esta forma obtenemos:

   Donde los vectores {i,j,k} son vectores de la base coordenada cartesiana. Resolviendo el sistema en las incógnitas i,j,k se obtiene:

Sea ahora un campo escalar de clase . En coordenadas esféricas,

Recordemos que el gradiente de f en coordenadas cartesianas se expresa como:

Aplicando la regla de la cadena obtenemos:

  y calculando las correspondientes derivadas parciales

 

 

 

 

 

 

 

en (1.1)

 

 

 

  

Resolviendo ahora este sistema respecto a las incógnitas ,

Finalmente, para obtener el gradiente en coordenadas esféricas solo nos resta sustituir. Con ello obtenemos:

Sea ahora F un campo vectorial de clase . Denotaremos por ( ) las coordenadas del campo F en la base . Razonando de igual modo a como lo hemos hecho con el gradiente, se puede probar que la divergencia del campo F en coordenadas esféricas es:

y el rotacional en coordenadas esféricas:

 

 

Finalmente el Laplaciano de un campo escalar f de clase , en coordenadas esféricas es:

 

 

 

 

COORDENADAS CILÍNDRICAS.

 

Por su parte, las coordenadas cilíndricas  están relacionadas con las coordenadas cartesianas (x,y,z) por medio de las expresiones:

                  donde:

Los vectores de la base de coordenadas cilíndricas están relacionados con los vectores de la base de coordenadas cartesianas por medio de las expresiones:

Razonando análogamente al caso de las coordenadas esféricas se obtienen el gradiente, la divergencia y el rotacional en coordenadas cilíndricas. Son las siguientes:

Para todo campo escalar de clase . Para un campo vectorial F de clase  y de coordenadas  en la base  , la divergencia se escribe como:

y el rotacional:

Finalmente el Laplaciano de un campo escalar de clase , en coordenadas cilíndricas es:

 

2.1. Integración de rectángulos en Rⁿ

 

El objetivo de esta sección es definir la integral de Riemann para una función f: R =  x … x R acotada. La construcción es análoga a la del caso unidimensional.

 

 

 

 

 

 

 

 

Definición 2.1.1 Llamaremos rectángulo en Rⁿ a todo conjunto de la forma

 

 

                      R =  x … x

=  { x = (x₁,x₂,…,x_n)  Rⁿ : a_j  x_j b_j , 1  j n}

 

siendo a_{j <} b_j  números reales dados

 

Definición 2.1.2 Dado un rectángulo R =  x … x , llamaremos medida de R al número real

 

µ ( R ) = (b₁ – a₁) . (b₂ – a₂)….. (b_n – a_n)

 

 

            Definición 2.1.3 Sea R =  x … x un rectángulo en Rⁿ . Llamaremos partición de R a toda n-tupla = P (P₁…, P_n ) donde cada componente P_i es una partición del intervalo . Si P_i divide al intervalo  en r_i  intervalos, entonces P divide al rectángulo R en r₁ r₂ … r_n subrectángulos que llamaremos subrectángulos de la partición.

DIBUJO

Denotaremos por P(R) al conjunto de todas las particiones del rectángulo R.

Sea   f : R  Rⁿ  R una función acotada . Dada una partición P  P(R), llamaremos suma superior de f asociada a P a

S (f,P) =

 

Donde R_i, i I, son los subrectángulos que componen la partición P.

De igual modo definimos la suma inferior de f asociada a P como

 

s (f,P) =

 

obviamente, s (f,P)  S (f,P).

 

 

Definición 2.1.4  Sea f: R  Rⁿ  R una función acotada. Se llama integral superior de f al número

e integral inferior a

 

 

 

 

 

Diremos que f es integrable Riemann en R (o simplemente integrable) si la integral superior coincide con la inferior, es decir, si

 

 

 

A este valor común se le llama integral de f sobre R y se denota por . Si se quieren especificar las variables de las que depende f también se escribe (x_1,…,x_n) dx_1…dx_n.

 

En los casos n=2 y n=3 es frecuente usar la notación  y  para denotar la integral de f sobre R, respectivamente. En el primer caso se habla de integral doble y en el segundo de integral triple.

 

Nota 2.1.1 Dada una función acotada   f : R  Rⁿ  R y una partición P  P(R), a una suma de la forma

S (f,P) =

donde son los rectángulos de la partición P, y x_i R_i, se le llama suma de Riemann asociada a f y a P. Otra forma equivalente de definir el concepto de función integrable Riemann es del siguiente modo: f es integrable Riemann en R si para cada > 0 existe una partición de modo que para cada partición P de modo que , entonces

 

<

para un cierto número A, que resulta ser único, y que coincide con .

 

Es evidente que la mayoría de las funciones que utilizamos en la práctica no tienen porqué estar definidas sobre rectángulos de Rⁿ. De ahí la necesidad de generalizar el concepto de integral a funciones definidas sobre conjuntos más generales. De ello nos ocuparemos en la siguiente sección.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.2 Integración en Conjuntos Medibles Jordan

 

La forma natural de extender el concepto de integral a conjuntos acotados  Rⁿ consiste en incluir éstos en un rectángulo R y extender la función definida en Ώ a todo el rectángulo asignándole el valor cero en \R.

 

Definición 2.2.1 Dado un subconjunto  Rⁿ, llamaremos función característica asociada a Ώ a la función : Rⁿ  R definida como

(x) =

Definición 2.2.2 Sean Ώ un subconjunto acotado de Rⁿ y f: Ώ  R una función acotada. Diremos que f es integrable en Ώ si existe un rectángulo R que contiene a Ώ y tal que la función f . es integrable en R . Escribiremos para designar el valor de

 

Nota 2.2.1 Por supuesto, se puede demostrar que la definición anterior es consistente, es decir, que ésta no depende de la elección del rectángulo R.

En el resultado que sigue recogemos las propiedades básicas de la integral múltiple.

 

Proposición  2.2.1 Sean Ώ un subconjunto acotado de Rⁿ y f, g dos funciones integrables en Ώ. Entonces:

 

(i) Para cualquiera par de números ά, β  R, la función ά f+ β g es integrable en Ώ y además

= ά

(ii) La función producto f.g es integrable.

(iii) Si f (x) g(x) para todo x  Ώ, entonces

(iv) La función  es integrable y

 

Las dos cuestiones principales que nos ocuparán a partir de ahora en este capítulo son las siguientes:

 

1.¿Qué funciones acotadas son integrables?

 

2.¿Cómo se calcula de manera explícita el valor de una integral?

 

 

En el resto de esta sección daremos cumplida respuesta a la primera de estas cuestiones y dejaremos para la siguiente sección la segunda.

            No toda función acotada es integrable. Incluso en el caso unidimensional encontramos funciones acotadas que no son integrables. Para poder dar una condición suficiente que garantice la integrabilidad necesitamos algunas definiciones y resultados previos.

 

Definición 2.2.3 Sea Ώ un subconjunto de Rⁿ, se dice que Ώ tiene medida (n-dimensional) nula si para todo > 0 existe una colección de rectángulos  en Rⁿtales que:

 

_(i)                    Ώ R_i

(ii)              

 

Si la colección de rectángulos anterior se puede tomar finita, entonces se dice que Ώ tiene contenido (n-dimensional) nulo.

 

Veamos ahora un ejemplo de un conjunto que tiene medida nula.

 

 

Ejemplo  2.2.1 Sea Ώ =  una sucesión creciente de números reales. Veamos que Ώ tiene medida 1- dimensional nula. Fijemos un >0 y consideremos la familia de intervalos I_n = .Obviamente se tiene que Ώ I_n. Además,

 

= = =

 

 

Para dar una idea intuitiva de cuales son los conjuntos de medida (y/o contenido) cero, señalemos los siguientes ejemplos:

 

• Todo conjunto numerable de puntos tiene medida cero en Rⁿ. Un conjunto finito de puntos tiene contenido nulo.
• Para conjuntos cerrados y acotados (es decir, compactos), los conceptos de medida nula y contenido nulo son equivalentes.
• Sea f : R continua, entonces su gráfica tiene contenido cero en R²
• Si m < n , cada subconjunto de R^m, considerado como subconjunto de Rⁿ , tiene medida (n-dimensional) nula.                           

 

Nota 2.2.2 Si una determinada propiedad se verifica para todos los elementos de un cierto conjunto Ώ  Rⁿ, excepto para los que pertenezcan a un subconjunto B  Ώ de medida nula, se dice que dicha propiedad se verifica “casi por todas partes” en Ώ. Escribiremos c.t.p. en Ώ. Así por ejemplo, si f: Ώ R es continua salvo en un conjunto de puntos de medida nula, diremos que f es continua c.t.p. en Ώ.

 

Nota 2.2.3 Una propiedad interesante que se aplica en la práctica es la siguiente: sean f,g: Ώ R acotadas. Supongamos que f es integrable y que g difiere de f en un conjunto de contenido nulo. Entonces g es integrable y además  

 

Definición  2.2.4 Sea Ώ un subconjunto acotado de Rⁿ .Se dice que Ώ es un conjunto medible Jordan si la función característica  es integrable en Ώ. Al valor de la integral ( Ώ) = se la llama medida de Jordan (o simplemente medida) del conjunto Ώ.

Los conjuntos medibles Jordan pueden ser caracterizados del siguiente modo.

 

Proposición  2.2.2 Un subconjunto acotado Ώ  Rⁿ es medible Jordan si y sólo si su frontera tiene medida nula.

 

 

Nota 2.2.4 Los conjuntos acotados que aparecen usualmente en las aplicaciones son medidas Jordan. Así por ejemplo, cualquier subconjunto acotado de Rⁿ de forma que su frontera pueda escribirse como unión finita de gráficas de funciones continuas de R^m en R, con m  n-1, es medible en el sentido de Jordan.

 

Ya estamos en condiciones de poder responder a la primera de las cuestiones planteadas anteriormente.

 

Teorema  2.2.1 (Lebesgue) Sean Ώ  Rⁿ un conjunto medible Jordan y f: Ώ R una función acotada. Entonces f es integrable en Ώ si y sólo si el conjunto de puntos donde f es discontinua es de medida nula (o lo que es lo mismo, si f es continua c.t.p. en Ώ).

 

 

2.3 Teoremas básicos de integración

 

Una vez sabemos qué funciones son integrables la cuestión que nos ocupa en esta sección es calcular el valor de una integral múltiple. Para ello disponemos de dos teoremas básicos: el Teorema de Fubini y el Teorema del cambio de variable. También se pueden emplear métodos numéricos para calcular una aproximación numérica al valor de estas integrales pero de ello no nos ocuparemos en este curso.

 

2.3.1 Teorema de Fubini

 

El Teorema de Fubini constituye una potente herramienta para el cálculo efectivo de integrales múltiples ya que reduce éste al cálculo de integrales unidimensionales. Este teorema fue probado por Fubini en 1907 dentro del marco de la integral de Lebesgue. Aunque existen varias versiones de este teorema, enunciamos a continuación una de las que resulta más útil en la práctica.

 

Teorema  2.3.1 (Fubini) Sea C  Rⁿ un conjunto medible Jordan, y y dos funciones continuas definidas en C tales que (x)   (x) x C. Sea

 

=  Rⁿ⁺¹ : x  C y (x)  y (

 

Si f es continua en , entonces

 

 =

 

 

Nota 2.3.1 Aunque el Teorema de Fubini se puede aplicar a un buen número de funciones, a veces es preciso andar con cuidado. En el ejercicio 2 se presenta un caso patológico donde no se puede aplicar dicho teorema.

 

Veamos ahora en un par de ejemplos como se aplica el Teorema de Fubini.

 

Ejemplo 2.3.1 Sea R = y consideremos la función f : R R definida como f (x,y) = x⁴+y⁴. Dado que f es continua en R, podemos aplicar la fórmula (2.1) para obtener

 

    =   = 

 

 

3.3  INTEGRAL DE LINEA DE UN CAMPO VECTORIAL

En esta sección definiremos el concepto de integral de un campo vectorial a lo largo de una curva y estudiaremos algunas de sus propiedades. Empezaremos por motivar con un ejemplo concreto el concepto que pretendemos definir.

Consideremos un punto de masa m situado en un campo gravitatorio o eléctrico F. Si la partícula se mueve en línea recta a lo largo de una trayectoria cuya dirección y sentido está marcada por el vector d, entonces el trabajo realizado por F para mover la partícula a lo largo de la trayectoria d se define como T=<F,d>, esto es, trabajo = fuerza x desplazamiento. Supongamos ahora que la partícula se mueve a lo largo de la curva s : [a,b] ¾> ³. Conforme el tiempo transcurre desde el instante  a  la partícula se mueve de s ( ) a s ( ), es decir, un desplazamiento que por el teorema del valor medio es igual a

d = s ( ) - s ( ) = s´(t)(  – ),

siendo t Î [ , ]. Por tanto, el trabajo realizado para mover la partícula de s ( ) a s ( ) es aproximadamente igual a

<F(s (t)), s´(t)( - )>.

Si consideramos una partición a = < <...<  = b del intervalo [a, b], entonces el trabajo realizado por F para desplazar la partícula desde s (a) hasta s (b) es aproximadamente igual a

 < F(s ( )), s´( )> (  – ),

donde  Î [ , ]. Si hacemos tender ahora N ¾> ¥ y suponemos que F y s son suficientemente regulares, entonces la expresión anterior converge a

< F ( s (t)), s´(t) >dt,

que  como decimos es el trabajo ejercido por F para trasladar la partícula m a lo largo de la trayectoria s desde el punto s (a) hasta s (b). De forma general tenemos la siguiente definición.

Definición 3.3.1. Sea F : W Ì  Âⁿ ® Âⁿ un campo vectorial y s : [a, b] ® Âⁿ una curva de clase C¹ a trozos de forma que s ([a, b]) Ì W. Sea a =  <  < ... < = b una partición del intervalo [a, b] tal que s es derivable en ] ,  [ y s´ es continua en [ , ] para todo 0 ≤ i ≤ m-1. Se define la integral de línea del campo F a lo largo de σ como

                                   . dS =   < F (s (t)), s´(t) > dt

siempre que las integrales de Riemann anteriores existan, lo cual sucede si F es acotado sobre la imagen de s y continuo casi por todas partes.

Nota3.3.1  En el caso de campos vectoriales en el plano F = (P, Q) y curvas cerradas es frecuente encontrar en los libros de Física la notación

  (x, y) dx + Q (x, y) dy

para denotar la integral de línea del campo F a lo largo de  σ.

 

Proposición 3.3.1. Sea σ : [a, b] → Âⁿ una curva de clase C¹  a trozos y  g = s o h una reparametrización de s. Se tiene:

a)      Si g preserva la orientación, entonces

         .dS = .dS

b)      Si g cambia la orientación, entonces

       .dS = - .dS

 

La demostración de este resultado es una consecuencia inmediata del teorema del cambio de variable para integrales de Riemann.

 

TEOREMA DE GREEN

 

Definición 3.4.1.

Un conjunto W Ì Â² se dice que disconexo si existen dos conjuntos abiertos ,  Ì ²  de forma que:

a)      ( ÇW) Ç ( ÇW) = Ø,

b)      ÇW ¹ Ø , ÇW ¹ Ø, y

c)      W = ( ÇW)È( ÇW).

Si no existen dos abiertos verificando estas tres propiedades se dice entonces que  W es conexo.

Para dar una imagen intuitiva sobre qué conjuntos son conexos se puede decir que estos conjuntos son los de una pieza, mientras que los disconexos son los que se componen de varias piezas por separado.

 

Definición 3.4.2

Sea s : [a, b] ® ² una curva de clase C¹ a trozos. Se dice que s es una curva de Jordan si es cerrada ( esto es s (a) = s (b))e inyectiva en [a, b[ ( es decir, s ( ) ¹ s ( ) " ,  Î [a, b[, con  ¹ ).

Aunque el resultado que sigue es muy intuitivo, su prueba rigurosa no es sencilla.

 

Teorema 3.4.1. (de la curva de Jordan)

Sea s : [a, b] ® ² una curva de Jordan. Si W = ² \ s([a, b]), entonces =  È  donde  y  son dos conjuntos abiertos conexos y disjuntos que tienen a la imagen de s como frontera común. Una de estas regiones es acotada y se llama interior de s y la otra es no acotada y se llama exterior de s.

El teorema anterior nos permite definir el concepto de orientación de una curva de Jordan. Dada una curva de Jordan en ², se dice que dicha curva está orientada positivamente si un observador situado sobre la curva que recorre ésta en el sentido creciente del parámetro, la región interior a la curva queda siempre a su izquierda. En caso contrario se dice que la curva está orientada negativamente. Dicho de otro modo, una curva de Jordan está orientada positivamente si ésta se recorre en sentido contrario al de las agujas del reloj, y en caso contrario se dice que está orientada negativamente.

 

Teorema 3.4.2. (Green)

Sean W Ì Â² un conjunto abierto y F = (P, Q) : W ® ² un campo vectorial de clase C¹. Sea s una curva de Jordan de manera que la región D del plano formada por la imagen de s (que suponemos orientada positivamente y denotamos por ) y su interior están contenidos en W. Entonces

            . dS = ) – ( ) dxdy.                                                         (3.5)

Nota 3.4.1.

En los libros de Física es frecuente encontrar la fórmula anterior escrita en la forma

            ) – ( ) dxdy = dx + Qdy.

Por supuesto esto es sólo otra notación para designar el mismo concepto.

 

Nota 3.4.2.

La fórmula (3.5) se puede establecer con hipótesis menos restrictivas que las impuestas en el Teorema 3.4.2 y, en particular, para conjuntos del plano más generales que los encerrados por curvas de Jordan. Los conjuntos múltiplemente conexos se definen del siguiente modo: sean , , ...,  n-curvas de Jordan de clase C¹ a trozos tales que dos de dichas curvas cualesquiera no se cortan. Supongamos además que las imágenes de las curvas ,...,  están situadas en el interior de la imagen de  y que la imagen de la curva  está en el exterior de  para 1 < i, j ≤ n, i ≠ j. El conjunto D se dice múltiplemente conexo si está compuesto por la región unión de  y la porción de su interior que no sea el interior de las imágenes de las curvas ,...,  . En este caso, el Teorema de Green establece que

            ) – ( ) dxdy = .dS - .dS

 

Demostración del Teorema de Green para un tipo particular de curvas de Jordan. Sean f, g : [a, b] ®  dos funciones de clase C¹ , con f (x) < g (x) "a £ x £ b, y D  el subconjunto de ² definido como

            D = {(x, y) Π² : a £ x £ b y f (x) £ y £ g (x)}

Siendo W  Â² un abierto que contiene a D consideremos el campo vectorial

F = (P, Q) : ® ² que suponemos es de clase C¹. Demostraremos el Teorema de Green en esta situación particular.

Por el Teorema de Fubini se tiene que

             (x, y) dxdy = (x, y) dy)dx = P(x, g(x)) – P(x, f(x))] dx     (3.6)

Por otra parte, las curvas  y  se pueden parametrizar como

            : [a, b] ® ²              ,       : [a, b] ® ²

                        x    ® (x, f(x))                           x     ® (x, g(x))

donde los + y – indican la orientación de la curva. Por tanto

            .dx =  (x, f(x))dx.                                                           (3.7)

De igual modo

            dx = - dx = - (x, g(x))dx                 (3.8)

Debido a que x es constante a lo largo de  y  no es difícil probar que

            dx = dx = 0

De (3.6), (3.7) y (3.8) se deduce ahora que

            (x, y)dxdy = - dx

Finalmente, un razonamiento similar permite llegar a la igualdad

             (x, y)dxdy = dy

                

 

Corolario 3.4.3(teorema de la divergencia en el plano).Sea D Ì lR² una región a la cual se puede aplicar el teorema de Green y denotaremos por ¶D+ a su frontera orientada positivamente. Sea s  : [a, b] ® lR² , t® (x(t) , y(t)) una parametrización de ¶D+ . Denotaremos por n = n(x(t) , y(t)) al vector normal unitario  a ¶D+ en el punto          (x(t) , y(t)), esto es ,el vector dado por

N(x(t),y(t))=

 

Consideremos finalmente un campo vectorial F =(P, Q) de clase C¹ en un abierto que contiene a D y a su frontera. Entonces

 

ò¶D+  <F , n >  ds = òò_D   div F (x, y)  dx dy  

 

 Como se ha menciona do anteriormente, la demostración de este resultado es consecuencia del Teorema de Green. En efecto: de la definición 3.2.1 se deduce que

 

 

   ò ¶D+< F, n>  ds

       

 

    =

    =ò¶D+(Pdy-Qdx)           =òò_D  div F (x,y)  dxdy

 

donde la ultima igualdad es consecuencia de aplicar el Teorema de Green al campo      (-Q, P).

 

Nota 3.4.3  Hay una cuestión que no ha quedado completamente clara en el enunciado del Teorema de la Divergencia: la orientación del vector normal. Veremos en ejemplos concretos que de los dos vectores normales unitarios a ¶D+ ., el considerado en el Teorema anterior es precisamente el que apunta hacia fuera de  D.

 

Finalmente nos ocuparemos de la fórmula de integración por partes en dimensión dos. Recordemos en primer lugar lo que sucede en dimensión uno: Si  u , v : [a , b]® lR son dos funciones de clase C¹ , entonces la fórmula de integración por partes afirma que

                      ò_a®b  u (x) v’ (x)dx = u(x) v(x) |   - ò_a®b u’ (x) v (x) dx.

Buscamos sin generalizar esta fórmula para el caso en que  u, v : W Ì lR²® lR son también dos funciones de clase C¹ en un abierto W que contiene a D y a su frontera ¶D+ que , al igual que en el teorema de la divergencia , suponemos orientada positivamente. Consideremos el campo vectorial F: W Ì lR² ® lR² definido como

 

F (x, y) = (u (x, Y) v (x, y), 0).

 

La Divergencia de este campo está dada por

                                div F = v ¶u/¶x  +  u ¶v/¶x ,

Por el Teorema de la divergencia se tiene entonces que

                 òò_D div F (x, y)  dx dy = ò ò_D  [v ¶u/¶x  +  u ¶v/¶x] dxdy = ò¶D+  uvn1 ds   donde

n = (n1 , n2)  es el vector normal unitario exterior a ¶D+. Por tanto,

                      ò ò_D  u ¶v/¶x dxdy = ò¶D+  uvn1 ds - ò  ò_D  u ¶u/¶x dxdy

que es la versión 2D de la fórmula de integración por partes. Hemos pues probado el siguiente:

    

                Corolario 3.4.4 Sea D Ì  lR² una región a la cual se puede aplicar el Teorema de  Green y denotaremos por ¶D+ a su frontera orientada positivamente. Sean u, v: W Ì  lR²® lR dos funciones de clase C¹ en un abierto W que contiene a D y a su frontera ¶D+. Denotaremos por n = (n1, n2) el vector normal unitario exterior a ¶D+. Entonces

 

ò  ò_D  u ¶v/¶x dx dy = ò¶D+  uvn1 ds - ò  ò_D  v ¶u/¶x dx dy

 

    y también

 

           ò  ò_D  u ¶v/¶y dx dy = ò¶D+  uvn2 ds - ò  ò_D  v ¶u/¶y dx dy.

 

 

 

TEMA 4. INTEGRALES DE SUPERFICIE

SUPERFICIES REGULARAS EN R3

Definición 4.1.1

Un subconjunto  es una superficie regular si para cada punto  existen abiertos , y una aplicación:       de modo que  y además:

a)  es de clase C1

b)   es inyectiva y su inversa       es continua

c) Para cada ,la diferencial  es inyectiva .

 

La aplicación  se denomina carta, parametrización o sistema de coordenadas local de la superficie S en el punto p. Un conjunto de cartas recubriendo toda  la superficie S se denomina un atlas.

Definición 4.1.2

Sean una superficie regular y  una carta local. Se define el área del subconjunto  como la integral :

Definición 4.1.3  

Sea una superficie regular para la que existe un conjunto de cartas  de modo que  tiene área nula. Se define el área de S como:     

Nota 4.1.1

Por supuesto, se puede demostrar que la definición anterior no depende del conjunto de cartas elegido, es decir, que si cogemos otro sistema de cartas  “cubriendo casi todo S” (esto es, cubriendo S salvo a lo sumo un conjunto de área nula), entonces se tiene la igualdad:

 

 

 

Nota 4.1.2

Finalmente, obsérvese que para que la integral doble mediante la cual se define el área de una superficie regular exista es preciso exigir que el atlas  que parametriza S cumpla que los conjuntos Un sean medibles Jordan  (en particular, acotados). Recordemos que es precisamente para este tipo de conjuntos para los que hemos desarrollado la teoría de integración. Esto fuerza a que tengamos que eliminar parametrizaciones del tipo , que parametriza un cilindro infinito de radio uno. En la sección que sigue, donde definiremos las integrales de superficie de campos escalares y vectoriales  reduciéndolas a determinadas integrales dobles, habremos de tener también en cuenta esta observación.

 

4.2 Integral de superficie de un campo escalar

 

En esta sección extenderemos el concepto de integral en el siguiente sentido: el integrando será un campo escalar y el dominio de integración una superficie regular. Es lo que llamaremos integral de superficie de un campo escalar.

 

Definición 4.2.1 Sea  una superficie regular y  un campo escalar. Supongamos que existe una carta  que cubre “casi todo” S. Se define la integral de f sobre S como

 

,

 

Siempre que la integral de Rieman anterior exista.

 

Finalmente, si S es una superficie regular, o regular a trozos, para lo que existe una familia de cartas  de modo que Æ, si m n y S\  tiene área nula, se define la integral de f sobre S como

 

,

 

Siempre que es término de la derecha en la expresión exista.

 

Nota 4.2.1 La definición  anterior se puede justificar por medio de sumas de Riemann de igual modo a como hicimos con la integral de un campo escalar sobre una curva. Además, se puede demostrar que la definición anterior no depende del atlas elegido para cubrir la superficie S.

 

Al igual que en el caso de la integral de un campo escalar sobre una curva, una de las aplicaciones de la integral de superficie de un campo escalar es la determinación de las masas. Así, si  es una lamina de densidad de masas representada por el campo escalar , entonces la masa de S se calcula por medio de la expresión

 

 

4.3 Integral de superficie de un campo vectorial.

 

En esta sección introduciremos el concepto de integral de superficie de un campo vectorial, interpretaremos físicamente dicho concepto y estudiaremos las propiedades más importantes de dicha integral.

Para poder entender el significado geométrico y físico de la integral de superficie de un campo vectorial es preciso acudir a las sumas de Riemann. Para simplificar, supongamos que  es un rectángulo y que  es una carta que cubre a S y de modo que . Dividamos U en rectángulos ,   , de modo que a medida que , el área de todos los rectángulos que componen dicha partición se aproxima a cero. Sea  son su correspondiente . Consideremos el paralelogramo  de lados  y  que está en el plano tangente a S en punto p. Finalmente consideremos también el paralepípedo formado por el campo vectorial F y por .

 

El volumen del paralepípedo coincide con el valor absoluto del producto escalar

 

 

Si el vector  apunta hacia fuera de la superficie y si el campo F también apunta hacia fuera, entonces  es un número positivo. Si sumamos ahora a lo largo de todos los rectángulos obtenemos

 

 

y de nuevo tomando limites cuando  se tiene que

 

 

Por todo lo anterior es natural dar la siguiente definición de integral de superficie de un campo vectorial.

 

Definición 4.3.1 Sea  una superficie regular y  un campo vectorial. Supongamos que existe una carta  que cubre “casi todo” S. Se define la integral de F sobre S como

 

 

Siempre que la integral doble anterior exista.

 

Finalmente, si S es una superficie regular, o regular a trozos, para la que existe una familia de cartas  de modo que , si m n y S\   tiene área nula, se define la integral de F cobre S como

 

 

Siempre que el término de la derecha en la expresión anterior exista.

 

Nota 4.3.1 Si pensamos en F como el campo de densidad de flujo de un fluido, es decir,            con  con  el campo escalar de densidad del fluido y V el campo vectorial de velocidad del fluido (que suponemos estacionario), entonces < F, n > es la componente normal del campo de densidad de flujo. Nótese también que las unidades físicas de F son

 

 

Por tanto,   nos mide la masa de fluido que atraviesa la superficie S por unidad de tiempo y en la dirección normal a S. Por ello, la integral de superficie también se llama flujo.

Estudiaremos a continuación el efecto que tiene sobre la integral de superficie de un campo vectorial el considerar un atlas distinto para parametrizar una misma superficie regular. Para ello introduciremos los conceptos de superficie conexa y orientable.

Una superficie regular S se dice conexa si dos puntos cualesquiera se S se pueden unir con una curva continua cuyo rango esta contenido en S.

Indiquemos también que una función  se dice continua en  si existe una carta  de modo que  para un cierto  y además  es continua en q.

 

Definición 4.3.2 Sea  una superficie regular y conexa. Se dice que S es orientable si existe un campo vectorial continuo  de vectores unitarios normales a la superficie S.

 

A nivel intuitivo, las superficies que son orientables son aquellas en las que es posible decir sin ambigüedad cuales son las dos caras de dicha superficie. No es difícil probar que las superficies que son graficas de funciones diferenciables son orientables. Por ello son muchas las superficies que son orientables. Sin embargo, también hay superficies que no son orientables.

 

Supongamos, para simplificar, que la superficie regular, orientable y conexa puede ser parametrizada por una única carta .Consideremos el campo vectorial n definido como

 

 para cada

 

Sea ahora  otra parametrización de la superficie S. Se dice que       preserva la orientación si

 

 para cada

 

Y se dice que  cambia la orientación si

 

 para cada

 

 

Proposición 4.3.1 Sea S una superficie regular, conexa y orientable y sea  una parametrización de S de modo que . Sean  otra parametrización de S, y F un campo vectorial definido sobre S.

 

a) Si  preserva la orientación, entonces

 

 

b) Si  cambia la orientación, entonces

 

 

c) Si  es un campo escalar, entonces el valor de  no varia tanto si  preserva la orientación como si la cambia.

 

La clave de la demostración de este resultado es el teorema del cambio de variable para integrales dobles, ya que no es difícil demostrar que

 

 

Haciendo uso de que S es conexa y dado que la matriz jacobiana del cambio de variable es no singular se puede demostrar que el signo de su determinante es constante y puede salir fuera de la integral.

 

Veamos a continuación una forma de calcular integrales de superficie sin hacer uso de parametrizaciones. Sea S una superficie orientable y supongamos, para simplificar un poco la notación, que se puede parametrizar por una única carta  de modo que . Entonces, dado un campo vectorial F,  

 

 

 

es decir, la integral de superficie del campo vectorial F es igual a la integral de superficie del campo escalar . Consideremos ahora un ejemplo concreto. Las ecuaciones

 

           

describen una superficie S que es simplemente un disco de radio 5 que esta en el plano z = 12. Sea  el campo vectorial definido como

 

 

F(x,y,z)=x i + y j + z k

 

para calcular  es suficiente tener presente que el vector normal a esta superficie es el vector k. Por tanto,  y con ello,

 

 

ya que el área de un circulo de radio 5 es .

 

Concluimos este capitulo con un teorema de valor medio para integrales de superficie que necesitaremos en el próximo capitulo.

 

 

Teorema 4.3.1 Sea S una superficie regular orientada de modo que , y F un campo vectorial continuo definido en algún conjunto abierto de  que contiene a S. Entonces existe algún punto  de modo que

 

 

donde A(S) denota el área de la superficie S.

 

La idea de la demostración de este teorema consiste en aplicar la definición de integral de superficie para reducir esta a una integral doble y luego aplicar el teorema del valor medio para integrales dobles. 

 

CAPÍTULO 5.

TEOREMAS INTEGRALES DEL ANÁLISIS VECTORIAL Y APLICACIONES.

5.1 Teorema de Stokes.

Este teorema relaciona las integrales de superficie con las integrales curvilíneas.

Frontera de una superficie: sea U⊂ℝ² un conjunto abierto y acotado limitado por una curva de Jordan , de clase C¹ a trozos, que suponemos orientada positivamente. Consideremos la superficie regular S =  (U) donde   : U →ℝ³ es una parametrización de S y supongamos:

(a)  es biyectiva y de clase C² en un conjunto abierto que contiene a (U ⋃ ).

(b) S es orientable y está orientada de modo que

        n =

Llamaremos frontera de S al conjunto . Por supuesto  hereda la orientación de . Dicho de un modo un tanto intuitivo,  está orientada positivamente si una persona que camine sobre  de modo que su cabeza apunte en el mismo sentido que la normal ve la superficie a la izquierda. Escribiremos ⁺ para remarcar la orientación positiva de .

Teorema de Stokes: sea S =  (U) una superficie satisfaciendo las propiedades (a) y (b) anteriores y supongamos que ⁺ =  está orientada positivamente. Dados un abierto ℝ³ que contiene a y  F: Ω→ℝ³ un campo vectorial de clase C¹ se tiene que

La idea de la demostración consiste en escribir la integral de superficie con el rotacional como una integral doble y a continuación usar el Teorema de Green para transformar esta nueva integral en una integral curvilínea.

Denotemos F = (F₁, F₂, F₃) las funciones coordenadas del campo F y por =( ₁, ₂, ₃) las componentes de la parametrización . Por la definición de integral de superficie tenemos que:

 

Usando el teorema de Schwartz sobre la igualdad de las derivadas cruzadas (por eso la carta es C²) se prueba que:

 

 

 

 

Sustituyendo en la expresión anterior y aplicando el Teorema de Green se tiene que:

 

 

Parametrizamos la curva Г por medio de la curva σ: [a, b] → ℝ², con σ (t) = (σ₁ (t), σ₂ (t)), de modo que una parametrización de    está dada por la composición . Aplicando la definición de integral de línea de un campo vectorial en la expresión anterior se obtiene que:

C. q.m.

 

5.1.1. Interpretación física del rotacional de un campo vectorial

El teorema de Stokes juega un papel esencial en varios campos de la ingeniería. En esta sección mostraremos algunas interpretaciones físicas de este importantísimo teorema. En concreto, utilizaremos dicho teorema para entender el significado físico del rotacional de un campo vectorial.

Supongamos en primer lugar que tenemos un sólido rígido (para fijar ideas supongamos que se trata de las aspas de un molino) que gira alrededor de un eje fijo, llamémosle L. La velocidad angular ω es un vector situado en el eje de rotación,  cuya magnitud es igual a la velocidad de cualquier punto del cuerpo dividido por su distancia al eje L. El sentido de dicho vector se toma siguiendo la clásica regla del sacacorchos. Si tomamos un sistema de coordenadas en el cual L es igual al eje x entonces ω=ωi y la posición de cualquier punto del cuerpo puede ser representada mediante tres coordenadas cartesianas r =xi +yj +zk . De esta forma el campo vectorial de velocidad del cuerpo viene dado por

V= ω x r = -ωzj + ωyk

y el rotacional de dicho campo

 

 

Por tanto, para la rotación de un sólido rígido, el rotacional del campo vectorial de velocidad coincide con el doble de su velocidad angular. Por ello, el vector rot v también se llama vector de vorticidad. Si el sólido no gira (las aspas están quietas), entonces el rotacional de su campo vectorial es cero.

Imaginemos que tenemos ahora un imán (por ejemplo de forma cilíndrica y girando sobre su eje). Experimentalmente sabemos que dicho imán genera un campo magnético, llamémosle H = H (t;x,y,z). Una de las famosas leyes de Maxwell sobre el electromagnetismo establece que dicho campo magnético genera un campo eléctrico E = E (t;x,y,z) y que ambos están relacionados por la ecuación                                         

Donde por supuesto el rotacional se calcula respecto de las variables espaciales. De esta forma, si colocamos un cable conductor (por ejemplo de cobre) alrededor del cilindro magnético, y si conectamos al cable una bombilla, entonces si el campo magnético es variable (esto es, ) observamos que la bombilla se ilumina. Si queremos ir un poco más allá y deseamos cuantificar de manera concreta la relación entre el campo magnético y el campo eléctrico por ejemplo medir el voltaje alrededor del cable, hemos de acudir al Teorema de Stokes. Dicho teorema nos afirma que

 

                                      

Donde S es una hipotética superficie de la cual el cable es su frontera y donde los cálculos anteriores (en concreto permutar derivación e integración en la tercera igualdad) se puede justificar matemáticamente si suponemos suficiente regularidad en los campos E y H. Pero dejemos de un lado las sutilezas matemáticas y volvamos a la física: recordamos que la integral de superficie de un campo vectorial nos mide el flujo de dicho campo que atraviesa la superficie sobre la que se integra. Por tanto,      nos mide la variación del flujo de campo magnético que atraviesa la hipotética superficie de la cual el cable de cobre es su frontera. Por otra parte,   nos mide el voltaje de la corriente que circula por el cable. Por esto las integrales de línea también se llaman circulación. Del Teorema de Stokes deducimos que las dos cantidades anteriores son iguales. Este hecho tiene nombre propio: es la ley de Faraday.

Finalmente, sea V = V(x,y,z) el campo vectorial de velocidad de un fluido estacionario y supongamos que V es de clase C¹. Fijemos un punto p y consideremos el círculo S_ρ de radio ρ centrado en p. Supongamos también que la frontera de S_ρ está orientada positivamente.

            Por el Teorema de Stokes se tiene que

                           (5.1)

Por otra parte, del Teorema 4.3.1 se deduce que

Donde q es otro punto de S_ρ y A(S_ρ) = Πρ² es el área de S_ρ. Si hacemos tender ahora ρ à 0, entonces de (5.1) y (5.2) se deduce que

Dado que   nos mide la cantidad neta de giro de las partículas fluidas en dirección contraria al de las agujas del reloj, <rot v (ρ), n (ρ) > representa el efecto de giro o rotación del fluido alrededor del eje n. El gráfico siguiente muestra el aspecto típico de un campo vectorial con rotación no nula. En concreto, la grafica se corresponde con el campo vectorial F(x,y,z) = (0,-z,y). El rotacional de este campo es el vector i, es decir un vector perpendicular al papel.

5.1.2 Campos Conservativos

Recordemos que un campo vectorial F se dice conservativo si existe un campo escalar f de clase C¹ de modo que F = f. En esta sección caracterizamos los campos conservativos de R³.

Teorema 5.1.2. Sea F: R³ àR³ un campo vectorial de clase C¹ en R³ salvo a lo sumo en un número finito de puntos. Las siguientes condiciones son equivalentes:

(a)    Para toda curva de Jordan de clase C¹ a trozos σ: [a,b] à R^3,

(b)   Para cualesquiera par de curvas de clase C¹ a trozos σ₁ y σ₂ para que tengan los mismos puntos inicial y final y que no se corten,

(c)    F es conservativo

(d)   rot F = 0

Esbocemos a continuación la demostración de este resultado. (a) à (b) Consideremos la curva σ = σ₁ –σ₂ , donde la notación anterior indica la curva que se obtiene uniendo σ₁ y σ₂ pero recorriendo esta última en sentido contrario al que indica su parametrización inicial. La nueva curva obtenida σ es una curva de Jordan. Por tanto,

(b)à (c) supongamos que el punto (0,0,0) no es un punto singular del campo F. Si lo fuese elegiríamos otro punto no singular cualquiera. Esto no afectará al razonamiento que sigue. Consideremos otro punto cualquiera de R³ con coordenadas (x,y,z) respecto de la base canónica. Consideremos ahora la curva σ = σ₁ U σ₂ U σ₃ donde σ₁ es el segmento de recta que une (0,0,0) con (x,0,0), σ₂ es el segmento de recta que une (x,0,0) con (x,y,0) y finalmente σ₃ une (x,y,0) con (x,y,z) también en línea recta. Definamos ahora el campo el campo escalar f como

 

 

 

Por el Teorema fundamental del cálculo se tiene que

La condición (b) nos dice que el valor de    es independiente del camino que sigamos para llegar desde (0,0,0) hasta (x,y,z), y por tanto,  si elegimos una curva que una, por este orden

(0,0,0) à (0,y,0) à (0,y,z) à (x,y,z)

llegaremos a que

 

 

y con un razonamiento similar

. Con ello habríamos probado que f es el potencial de F, esto es que F=

 

(c)à (d) Esto ya fue probado en la proposición 1.2.1

(e)à (a) Sea σ: [a,b] à R³ una curva de Jordan y consideremos una superficie que tenga a σ como frontera (esto es muy fácil de visualizar para algunos tipos particulares de curvas, pero en general, el probar la existencia de esta superficie es algo que debemos justificar adecuadamente). Por el Teorema de Stokes y por la condición (d) se tiene que

 

5.2 Teorema de la Divergencia

Abordamos ahora el segundo de los grandes teoremas del análisis vectorial, el Teorema de la Divergencia o Teorema de Gauss. Como veremos a continuación, dicho teorema relaciona las integrales de superficie con las integrales triples(o de volumen).

……………………………………………………………………………(77-79)

 

Sea un conjunto acotado cuya frontera  es una superficie regular (o regular a trozos) orientable y orientada de modo que el vector unitario n apunta hacia afuera de la superficie. Sea F un campo vectorial de clase en un abierto que contiene a  . Entonces

 

 

Demostraremos ahora el Teorema de la Divergencia para un tipo particular de superficies. Supongamos que D es un conjunto acotado y abierto y  ,

                       

Siendo  dos funciones continuas.

 

Demostraremos el Teorema de la Divergencia en esta situación particular.

Si denotamos por F = ( ) las tres componentes del campo, entonces

 

        

 

mientras que

  

 

 

Demostraremos que

    

 

Las identidades

y

                         

                         

Se demuestran de la misma forma.

 

Usando el teorema de Fubini se tiene que

 

                   

      

                   

 

Por otra parte,

 

Donde Si son las 6 caras de la superficie . Dado que para i = 3,4,5,6 los vectores ni, son perpendiculares a k, la suma anterior queda reducida a dos sumandos, es decir,

 

 

Puesto que S1 y S2 son dos superficies que son gráficas de funciones diferenciables los vectores normales tienen la forma

 

   y  

 

Aplicando ahora la definición de integral de superficie se tiene que

 

 

Y

 

 

Donde la diferencia de signos es debida a la orientación de las dos superficies. Se tiene con ello comprobada la 1º identidad.

 

 

 

 

 

 

 

Ecuación del Calor

Consideremos una región W̳ ocupada por un medio (un gas, un fluido o una barra metálica, por ejemplo) de densidad r=r(x), xÎW y sometida a la acción de una fuente de calor que representamos por medio de una función F:[0,+¥[ ´ W ® Â. Por u(t,x) denotaremos la temperatura del punto xÎW en el instante t³0. Si suponemos que el calor se transmite únicamente por conducción, entonces la ley de Fourier establece que el flujo de calor es proporcional al gradiente de la temperatura, es decir, es proporcional a

donde k(x)³0 indica la conductividad térmica del medio. Si la temperatura no es muy alta, es muy realista suponer que la densidad, la conductividad térmica y en general las características físicas del medio no se ven afectadas por la temperatura y permanecen constantes a lo largo del tiempo. En este caso, si denotamos por ¶D la frontera de un subconjunto cualquiera D Ì W, como consecuencia de la ley de Fourier y del Teorema de la Divergencia se tiene que la cantidad de calor que atraviesa ¶D es

donde, por supuesto, estamos suponiendo suficiente regularidad sobre W, ¶W y k(x)Ñu(t,x) como para poder aplicar el mencionado Teorema de la Divergencia. Por otra parte, la cantidad de calor que actúa sobre D debido a la fuente F en el instante t viene dada por

La variación de la temperatura con respecto al tiempo viene dada por y, por tanto, la variación total de la temperatura en D entre los instantes t₀<t₁ viene dada por

donde c(x) es el calor específico del medio. Integrando y gracias al principio de conservación de la energía, a la igualdad

para todo t>0 y xÎW. La ecuación anterior se denomina ecuación del calor y es el ejemplo típico de lo que en EDPs se llama una ecuación parabólica. Cuando las funciones k, r y c son constantes se obtiene la expresión mas sencilla

donde a es una constante. La ecuación unidimensional se escribe de la forma

Esta ecuación modeliza, por ejemplo, la transmisión de calor en una muy fina barra de longitud l. En este tipo de problemas es muy natural conocer la distribución inicial de temperaturas, esto es, u(0,x)=u₀(x). Esto es lo que se llama una condición inicial. También se suele conocer la temperatura en los extremos de la barra. Así por ejemplo, si los extremos permanecen constante durante todo el proceso tendríamos u(t,0)=T₁ y u(t,l)=T₂. Esto es lo que llamamos condiciones de contorno. Hay varios tipos de condiciones de contorno. Las anteriores se llaman condiciones tipo Dirichlet. Otro tipo de condiciones de contorno pueden ser suponer que los extremos de la barra están aislados, es decir, que no hay flujo de calor en los extremos de la barra. Esto se expresa matemáticamente como

           para todo t ³ 0

Estas condiciones de contorno se llaman de tipo Neumann. En otros casos, por ejemplo cuando se tiene en cuenta la ley de enfriamiento de Newton que establece que entre un cuerpo caliente y el medio que lo rodea se produce un flujo de calor que es proporcional a la diferencia de temperaturas entre el medio  y el propio sólido, aparecen mezcladas las condiciones Dirichlet y las Neumann.

En resumen, el modelo matemático para la transmisión de calor en una barra de longitud l, suponiendo conocida la distribución inicial de temperatura y que los extremos están aislados, es

Por solución clásica del problema anterior entenderemos una función u:[0,¥[ ´ [0,l] ® Â que sea de clase C² (]0,¥[ ´ ]0,l[), continua en [0,¥[ ´ [0,l] y que satisfaga la EDP anterior y sus condiciones iniciales y de contorno.

Diremos que un modelo matemático está correctamente planteado cuando existe una única solución del problema la cual además es estable, es decir, que la “solución varía poco si los datos del problema varían poco”. Nótese que el conocimiento de las condiciones iniciales y de contorno de un problema serán efectuados por mediciones y por consiguiente estarán sujetos a pequeños errores. De esta forma, el problema que resolveremos no será el problema real sino un problema aproximado. Si el problema no fuese estable no podríamos garantizar que la solución del problema aproximado sea una aproximación de la solución real. Por ello es necesaria la estabilidad del problema para que el modelo matemático describa correctamente el fenómeno físico.

Finalmente, para dar una cierta idea de cual es el estado actual de las matemáticas en relación con las EDPs consideremos el caso de fenómenos de transmisión del calor en los que la conductividad térmica del medio se ve afectada por la temperatura, esto es, k=j(u). En este caso la ecuación del calor se escribe como

Un caso de particular interés se tiene cuando j(u)=|u|^p-1, con p>1. Se obtiene entonces una EDP no lineal. Del estudio matemático de este tipo de ecuaciones de ocupan actualmente un gran número de matemáticos en todo el mundo.

 

 

Ecuación de Ondas

La ecuación de ondas, en su versión mas sencilla, tiene la forma

donde u representa la amplitud de una onda viajando en un medio de dimensión n, x=(x₁, x₂, ..., x_n) representa la posición del punto x en el medio, t es el medio y c es una constante que representa la velocidad de propagación de la onda en dicho medio. La ecuación anterior proporciona un modelo matemático razonable en diversos problemas físicos tales como: vibraciones de una cuerda vibrante (una cuerda de una guitarra, por ejemplo), vibraciones de una membrana elástica, ondas en fluidos incompresibles, ondas de sonido en el aire, ondas electromagnéticas, etc.

La ecuación de ondas es el ejemplo típico de lo que en EDPs se llama una ecuación hiperbólica, esto es, una ecuación donde aparece la derivada segunda respecto de la variable temporal mientras que las derivadas espaciales son de tipo Laplaciano.

Caso del problema de la cuerda vibrante: Supongamos que tenemos una cuerda tensa de longitud l sujeta en sus extremos. Supongamos además que la cuerda es flexible y elástica y que tiene una densidad de masa constante de valor r. Supongamos que estiramos ligeramente la cuerda y la soltamos de manera que ésta vibra únicamente en la dirección vertical. Por u(t,x) denotaremos el desplazamiento vertical de la cuerda en la posición xÎ[0,l] y en el instante t>0. Nuestro objetivo es mostrar que la ecuación anterior, con n=1, proporciona un modelo matemático aceptable para este problema físico en el caso de que las vibraciones sean de pequeña amplitud.

Consideremos un pequeño segmento de la cuerda [x,x+h]. El movimiento de la cuerda está determinado por la segunda ley de Newton: F=ma

Donde m=rh es la masa del segmento, a=  es la aceleración, y F representa el conjunto de fuerzas que actúan sobre dicho segmento. En un primer momento supondremos que sobre la cuerda solo actúa la fuerza debida a la tensión en los extremos. Puesto que la cuerda es flexible, T(x) en cualquier punto es tangente a la cuerda. Además, para pequeñas oscilaciones de puede asumir que el valor de esta tensión es igual en todos los puntos de la cuerda. De esta forma, las componentes verticales de la tensión en los puntos x,x+h valen T.sen a₁, T.sen a₂, respectivamente.

Por tanto, F=ma, tiene la forma

De la fórmula                    

Se deduce que en el caso de ser tan q despreciable frente a la unidad podemos indentificar sen q con tan q. Teniendo en cuenta además que

 y

por tanto la ecuación queda

Dividiendo por h y tomando límites cuando h à 0 se obtiene

        con c²=r^-1T.

Finalmente hemos de imponer las condiciones de contorno

u(t,0)=0 ; u(t,l)=0

que indican que la cuerda está sujeta en los extremos, y las condiciones iniciales

u(0,x)=f(x) ,

la primera de las cuales indica que en el instante inicial la cuerda se ha estirado y por tanto admite la forma dada por la función f, y la segunda de ellas indica que la cuerda se ha soltado sin ninguna velocidad inicial.

Con todo ello, el modelo matemático para el problema de la cuerda vibrante se formula del siguiente modo: dad f:[0,l] à Â, encontrar una función

que sea de clase C² (]0,¥[ ´ ]0,l[), que sea continua en [0, ¥[ ´ [0,l] y que satisfaga la ecuación

en todo punto del conjunto ]0,¥[ ´ ]0,l[ y las condiciones iniciales y de contorno

 

Ecuación de Laplace

La ecuación de Laplace en dimensión n>1 es

La ecuación de Laplace no homogénea también es conocida con el nombre de ecuación de Poisson y tiene la forma

siendo f:WÌÂⁿ®Â una función dada. Este tipo de ecuaciones constituyen el ejemplo típico de lo que en EDPs se llama una ecuación elíptica.

La ecuación de Laplace aparece en un gran número de contextos diferentes como ponen de manifiesto los siguientes ejemplos:

Elasticidad lineal: Las ecuaciones que modelizan la flexión de sólidos que tienen un comportamiento elástico se obtienen a partir de las leyes de conservación de la Mecánica Clásica, y de una ley constitutiva propia de este tipo de medios: la ley de Hooke.

Consideremos a continuación una situación muy particular. Supongamos que W es una membrana elástica, sujeta en el borde, sobre la que actúan una fuerza vertical f:W®Â y que produce un desplazamiento u:W®Â.

A partir de la ley de conservación de la cantidad de movimiento y de la ley de Hooke de la elasticidad lineal se deduce que el desplazamiento u ha de satisfacer la ecuación

donde l,m>0 son dos constantes que dependen del tipo de material del que esté hecha la membrana y se denominan coeficientes de Lamé. Estas constantes están relacionadas con los clásicos módulo de Young E y el coeficiente de Poisson n por medio de las expresiones

El modelo queda completo con la condición de contorno

que representa el hecho de que la membrana está sujeta en el borde.

 

Mecánica de Fluidos: Supongamos que V es el campo vectorial de velocidad de un fluido estacionario (esto es, V=V(x,y,z) no depende del tiempo t), incompresible (divV=0) e irrotacional (rotV=0), en un dominio simplemente conexo W. Puesto que V tiene rotacional nulo, V es un campo conservativo, y por tanto, existe una función potencial uÎC²(W) tal que V=Ñu. Ahora bien, como divV=0, entonces

Por tanto, el potencial u satisface la ecuación de Laplace la cual suele ir acompañada de una condición de contorno, que por ejemplo en pared se expresa como

donde n denota el vector normal unitario exterior a ¶W, y g:¶W®Â es una función conocida. Con todo ello se tiene el problema de Neumann

 

Electrostática: Un problema básico en electrostática consiste en describir el campo eléctrico E en un volumen W que contiene una densidad de cargas r(x) y encerrado en una superficie perfectamente conductora G. De la ley de Coulomb se deduce que el campo eléctrico satisface la ecuación

Además, por la ley de Faraday, rotE=0. Por tanto, al igual que en el ejemplo anterior, E=Ñu, donde u es el potencial de dicho campo eléctrico. En este caso es natural imponer la condición de contorno u=c sobre G, con c=cte. Con todo ello se tiene el problema

 

Física estadística: Un problema clásico en teoría de procesos estocásticos es la descripción del movimiento Browniano. El problema consiste en describir el movimiento de las partículas que se encuentran en el interior de un dominio W moviéndose de manera aleatoria hasta que interceptan la frontera G, momento en el que se paran. Supongamos que G=G₁ÈG₂ y sea u(x) la probabilidad de que la partícula que empieza a moverse en el punto xÎWse pare en algún punto G₁. de esta forma, u(x)=1 significa que este suceso ocurre mientras que u(x)=0 significa que el suceso no ocurre. La función u satisface la ecuación de Laplace

a la que hay que añadir la condición de contorno

 

Transmisión de calor y propagación de ondas en régimen estacionario: Es evidente que tanto la ecuación del calor como la de ondas se reducen a la ecuación de Laplace en el caso de que la distribución de temperaturas sea estacionaria (esto es, independientemente del tiempo y por tanto u_tt=0) o que las ondas se desplazan a velocidad constante, con lo cual u_tt=0.

 

Capítulo 8

Método de Separación de Variables

 

El objetivo esencial de este capítulo final es presentar uno de los métodos clásicos para resolver algunas EDPs y en particular, las ecuaciones del calor, ondas y Laplace así como EDPs lineales de segundo orden con coeficientes constantes las cuales mediante cambios de coordenadas adecuados son equivalentes a aquellas.

8.1 Descripción del Método

Para ilustrar este método consideremos el problema de la difusión del calor en una barra acotada. Buscaremos pues una función

 

que satisfaga la EDP y las condiciones iniciales y de contorno

 

                                      (8.1)

 

siendo f : [0,l]  IR una función dada. En el método de separación de variables se supone que la solución de este problema se puede escribir en la forma

u(t,x)=T(t)X(x)

es decir, que la solución de (8.1) se puede expresar como producto de dos funciones, una de las cuales depende únicamente de una de las dos variables independientes, y la otra sólo de la otra variable independiente. Con ello se tiene que  y . Por ello, si sustituimos en la ecuación del calor se tiene que

                                  

                                   (x).

 

Las variables de esta ecuación se pueden separar dividiendo por  para obtener

 

                                    

 

El termino de la izquierda de esta ecuación depende únicamente de la variable t mientras que el termino de la derecha depende sólo de x; además ambos son iguales, con lo cual deben ser iguales, llamémosla . Por tanto

 

                                  

 

y

 

                                  

 

La solución general de la ecuación diferencial ordinaria es

 

                                   ,

 

 

siendo C₀ una constante arbitraria, y la solución es

 

                                  

 

siendo  dos constantes arbitrarias, y suponiendo que  es positivo. Nótese que si  es negativo, entonces

 

                                  

 

y al imponer las condiciones de constante  (las cuales provienen de ) se obtiene que  y por tanto . También se obtiene la solución nula si . Descartamos esta solución porque estamos buscando soluciones no triviales. Además, la solución u = 0 no verifica la condición inicial  a menos que f = 0; pero este es un caso trivial que no tiene interés físico alguno.

            Por tanto nos centraremos en la solución dada de . Como hemos dicho anteriormente, las condiciones de contorno  se traducen en que . La condición  implica que C₁= 0 mientras que la condición X(l) = 0 fuerza a que  = 0 . Si tomamos C₂= 0 obtenemos que X(x) = 0 lo que a su vez implica que u es idénticamente nula. Por tanto, si tomamos se a de verificar que  = 0 y así

 

                                  

 

para algun número entero n. (Podemos tomar n positivo ya que si n = 0 se obtiene la solución nula y si n es negativo el cambio n por –n únicamente produce el cambio C₂ por –C₂, con lo cual se obtiene la misma solución).

            En resumen, para cada entero positivo n hemos obtenido una solución u_n de la ecuación del calor que se escribe en la forma

 

                                  

 

Hemos tomado C₀ = C₂ = 1. Otras elecciones de C₀ y C₂ proporcionan múltiples tipos de u_n. Como la ecuación del calor (así como todas las ecuaciones que estudiemos en este curso) es lineal, cualquier combinación lineal finita de u_n también proporciona una solución de la ecuación del calor, esto es, la función

 

                                    

 

también es solución de la ecuación u_t = a²u_xx. Pero la función anterior satisface la condición inicial u(0,x) = f(x) únicamente si la función f es precisamente de forma f(x) =  lo cual sin duda alguna es muy restrictivo. Para tratar de solucionar este problema intentamos pasar al limite en la ecuación anterior cuando N  para obtener formalmente la solución

 

                                  

 

El significado de la palabra formalmente que acabamos de mencionar hace referencia a que no nos hemos planteado (hasta ahora) si la serie en cuestión es convergente, ni tampoco se la función que define dicha serie es solución clásica de nuestra ecuación. Por tanto, hasta ahora sólo podemos hablar de solución formal.

            Finalmente, hemos de imponer en nuestro esquema de separación de variables la condición inicial u(0,x) = f(x). Sustituyendo esta condición en la ecuación anterior obtenemos

 

                                  

 

Se impone pues la cuestión de tratar de averiguar qué funciones pueden ser desarrolladas en series infinitas de senos y/o cosenos, es decir, series del tipo(8.7). Respecto del cálculo de los coeficientes , una forma de calcularlos es la siguiente: si multiplicamos la expresión (8.7) por   e integramos en [0,l] se tiene:

 

donde la segunda igualdad habría que justificarla adecuadamente. Por tanto

 

De esta forma obtenemos una única solución clásica (de momento sólo solución formal) de la ecuación del calor.

A modo de resumen: si repasamos todo lo que hemos visto en esta introducción, para llevar a cabo el esquema de separación de variables hemos de:

.   Averiguar qué funciones pueden ser desarrolladas en series infinitas de senos y/o cosenos, es decir, series del tipo (8.7). Para aquellas funciones para las que la respuesta sea afirmativa hemos de entender bien el significado del signo "=" en la fórmula (8.7). Este tipo de series se denominan series de Fourier.

  . Estudiar propiedades de convergencia y de derivabilidad de series infinitas del tipo (8.6) con el fin de poder averiguar si las soluciones formales que obtenemos por medio del método de separación de variables son de hecho soluciones clásicas.

   . Resolver uno (o dos) problemas de contorno para ecuaciones diferenciales ordinarias de orden dos. Recordemos que las condiciones de contorno del problema de EDP para la ecuación del calor se transforman en condiciones de contorno para la EDO (8.3). Este tipo de problemas se conocen con el nombre de problemas de Sturm-Liouville.

    Daremos cumplida respuesta a cada una de estas tres cuestiones en las secciones que siguen. Empezaremos por estudiar las series de Fourier.

 

8.2 Series de Fourier

Se dice que la función    f  : R R es 2π-periódica se para todo x R  se satisface que

                                          f(x + 2π)=f(x)                                              

 

Las funciones trigonométricas sin x y cos x son los ejemplos más elementales de funciones 2π-periódicas.

 

Definición 8.2.1 Supongamos que f es 2π-periódica e integrable en [-π ,π ].

Llamaremos serie de Fourier asociada a la función f a la serie de funciones

 

                              

 

Donde

                                     

 

y                                 

 

                                        

 

Los coeficientes   y   se denominan coeficientes de Fourier de f.

 

Definición 8.2.2. Una función f  : R R  se dice que es impar si se cumple que

f(x)=-f(-x)  para todo x R. Se dice que f es par si f(x)=f(-x) para todo x R.

Teniendo en cuenta la definición de los coeficientes de Fourier, un simple cálculo muestra que si f es impar, entonces

 

                                       y     

 

Y si f es par, entonces

                                   

                                     y   

 

 

8.2.1. Teoremas de Convergencia para series de Fourier

 

Recordaremos en primer lugar los conceptos de convergencia puntual y uniforme de series de funciones. Sea

 

                                                           

 

 

una sucesión de funciones. Se dice que la serie de funciones        converge

puntualmente a la función         si para todo (t , x)   y para todo            

 existe un    tal que si   , entonces   

 

 

                                                  

 

Se dice que la serie de funciones      converge uniformemente a la función

  si para todo   existe un      tal  que si   ,

entonces      

           

                                                   para todo (t, x)

                                            

 

Por supuesto, la convergencia uniforme implica convergencia puntual. Otro resultado

importante es que se las funciones    son continuas y la serie 

converge  uniformemente a S, entonces la función S es continua.

 

El criterio más útil que garantiza la convergencia uniforme de una serie de funciones es el llamado Criterio de Mayoración de Weierstrass. Dicho criterio afirma que se existe una sucesión de constantes positivas   tales que

 

                                                                                                                                                                         

 

y se además la serie numérica    es convergente, entonces la serie de funciones    en uniformemente convergente.

 

Definición 8.2.3. Una función  f  : [a, b]  R se dice continua a trozos si existe una partición a =  = b   del intervalo  [a, b]  tal que f  es continua en cada uno de los subintervalos    (k= 1,2,…,n)  y si existen los límites por la derecha y por la izquierda en cada punto   (k=1,2,…,n-1),  y por la derecha en  a =    y   por la izquierda en    

Es decir, si  f  es continua en [a, b] salvo a lo más en un número finito de puntos donde presenta discontinuidades de primera especie finita. Se dice que f diferenciable a trozos si f y su primera derivada      son continuas a trozos.

 

Denotaremos por PC (2 ) al conjunto de las funciones  f  : R R  que sean

2π-periódicas  y continuas a trozos en el intervalo de periodicidad, que a partir de ahora supondremos será  [-π ,π ].  Por PS (2 ) denotaremos al conjunto de las funciones

 f  : R R   que son   2π-periódicas  y difernciables a trozos en el intervalo de periodicidad.

A partir de ahora denotaremos por    la suma parcial  n-ésima  de la serie de Fourier en el punto x asociada a la función f, es decir,

 

 

                                       =                                                                                

 

Teorema 8.2.1.(Convergencia Puntual)  Si   PS ( 2 ), entonces,

 

                                             =                                                               

 

donde

 

                                           y   f(x+)=

 

En particular

 

                                      S (x, f)= f (x) 

 

 

    donde f en continua.

 

 

Veamos ahora que nos dice este teorema en relaccion a los dos ejemplos que hemos considerado anteriormente. Consideremos la función

 

                                             f(x) =       para    

 

Se trata de una función continua que tiene derivada en todos los puntos del intervalo  

 excepto en el punto x = 0. Además,

 

 

                                                      

                                        (x) =         

 

 

Es decir, PS ( 2 ). Por tanto, el teorema de convergencia puntual anterior nos dice que

                                                             

                                           ,     

 

es decir, la serie se Fourier asociada a   converge puntualmente a la propia función .

Consideremos ahora la función

 

                                           para     

 

Se trata de una función continua en todo punto excepto en los puntos k , con k un número impar. Por supuesto, también es una función diferenciable a trozos y por tanto,

 

 

                                             

                                       

 

Obsérvese que en los puntos de discontinuidad  k , con k impar, se tiene que     y         con lo cual     , es  decir, la serie de Fourier en estos puntos converge a cero, que no coincide con el valor de la función en estos puntos.

 

Teorema 8.2.2.(Convergencia Uniforme) Sea    una función  2π-periódica  continua, y diferenciable a trozos. Entonces, la serie de Fourier de   converge uniformemenrte sobre R a la función . Además, la serie de los coeficientes de Fourier

 

                                                                             

                                                         

 

 

es convergente

 

Nótese que la serie de Fourier que hemos que hemos estudiado en el Ejemplo 8.2.1 converge uniformemente a la función  2π-periódica,  ya que dicha función es continua y diferenciable a trozos. No sucede igual con la función considerada en el ejemplo 8.2.2, donde no existe convergencia puntual de la serie de Fourier asociada a dicha función, y por tanto, tampoco existe convergencia uniforme.

 

 

 

……………………………………………………………………………(118-124)

Series de Fourrier sobre Intervalos

Sea  f = f(x)  una función periódica de periodo 2T. Mediante el cambio de variable

   , se tiene que la función

es 2π-Periódica. Por tanto, si

con

         y       

es la serie de Fourier asociada a la función g, entonces, deshaciendo el cambio obtenemos que la serie de Fourier de la función de partida es

 

 

donde

         y    

y por lo tanto, estos son los coeficientes de Fourier de la función 2T-periódica f. Si f es impar, entonces

=0           y        ,   

mientras que si f es par entonces

=0    y              ,     

 

 

Lógicamente, todos los resultados de convergencia que hemos obtenido en este capitulo para funciones 2Pi-periódicas son validos para funciones 2T-periódicas.

 

Aplicación a la resolución de EDPs

 

En esta sección aplicaremos el método de separación de variables a la resolución de las ecuaciones del calor y de ondas con una sola variable especial, y a la ecuación de Laplace en el plano.

 

• Ecuación del Calor 1-dimensional

Consideremos de nuevo el problema de la difusión del calor en una barra acotada. Como vimos en la introducción de este capitulo, el modelo matemático para este fenómeno físico es

 

y por  el método de separación de variables obtuvimos la solución formal

         (8.11)

 

 

donde además se tiene que verificar que     (8.12)

Las constantes  han de ser los coeficientes de Fourier de la extensión impar y 2l-periódica de f y por tanto han de ser datos por las fórmulas

,

 

En aquel momento quedaron pendientes algunas preguntas que trataremos de resolver ahora. La primera de ellas es:

 

¿Puede la temperatura inicial de f ser expresada en la forma (8.12)?

 

La respuesta es SI. Si exigimos a f que sea continua y diferenciable a trozo, por el teorema 8.2.1se tiene que

      

 

La segunda pregunta es:

 

¿Es u una solución clásica?

Respuesta es SI. Y ahora la pregunta es ¿por qué?. Veámoslo.

Supuesta f continua y diferenciable a trozos, los coeficientes de Fourier de f satisfacen que

 y por tanto existes una constante C>0 tal que

 

(Lo único que estamos diciendo es que toda sucesión convergente es acotada)

Por lo tanto se tiene la estimación

   ,

 

siendo .Dado que la serie numerica

 

 es convergente, por el criterio de Mayorante de Weierstrass se tiene que la serie (8.11) convergente uniformemente en conjuntos de la forma[e,T]x[0,l] y además, como la función es        son continuas, la función suma también lo es, es decir, u es continua en ]0,¥[ x[0,l].

El propio criterio de Mayoracion de Weierstrass y el teorema de derivación de series de funciones nos aseguran que la serie (8.11) se puede derivar término a término y que además uÎ .Como las funciones     satisfacen las ecuaciones de calor, u también la satisface (gracias a la derivación término a término).

Sólo nos queda ver que se satisfacen condiciones iniciales y de contorno. Como la serie (8.11)converge uniformemente para xÎ[0,l],la función u, considerada como función dependiente de x, es continua y por tanto

 Finalmente, si f es continua, diferenciable a trozos y si f(0) =f(l)=0, la extensión impar de f es continua y diferenciable a trozos con lo cual, por el teorema 8.2.2 que se satisface que

 

 

Dado que

        ,

de nuevo el criterio de Weierstrass nos asegura que la serie (8.11) converge uniformemente en [0,¥[x[0,l] lo que nos permite asegurar que u ÎC ([0,¥[x[0,l]).

En particular,

Por tanto, hemos probado el siguiente:

Teorema EXISTENCIAL DE SOLUCION CLASICA.

Supongamos que f sea diferenciable a trozos y continua y que f (0)=f(l)=0, entonces la función dada en (8.11)  es solución clásica de (EC).

Aún quedan dos cuestiones a analizar referentes a la ecuación del calor: unicidad y estabilidad de la solución. Para abordar ambas cuestiones necesitaremos el siguiente:

Lema 8.3.2.(Principio del maximo y minimo para la ecuación del calor).Sean l,T>0, D=[0,T]x[0,l] y

 L={(t,x): x Î [0,l], t=0}U{(t,x):t Î[0,T],x=0}U{(t,x):tÎ[0,T],x=l}.

Si uÎ (D\L)∩C(D) es solución de la ecuación del calor en D\L,

entonces

      y   

DEMOSTRACIÓN: Pongamos M=   y  m= .Obviamente M≥m. Supongamos que M>m. Entonces existe( )ÎD\L tal que u( )=M. Consideremos la función

 .

En L se verifica que v(t,x)≤m+  Por otra parte,

 y por tanto,el maximo de v es mayor o igual que M. Sea  el punto donde v alcanza su máximo. Por lo que hemos visto  no pertenece a L. Si  ÎD, entonces

      y   

Si  Î{T}x]0,l[, entonces

En definitiva,

Sin embargo, teniendo en cuenta la definición de v y las propiedades de u también se verifica que

 

 

 

lo cual es una contradicción. Por tanto, M = m. La segunda igualdad se deduce ahora de la primera ya que

UNICIDAD DE SOLUCION CLASICA. Sean l, T, D y L como en el principio del máximo y mínimo para la ecuación del calor. Sean  y   dos soluciones clásicas de (EC).Entonces  =   .

Demostración :Consideremos la función u =  -    que, por hipótesis, se anula en L. Por el principio del máximo y mínimo tenemos

             y             

Por tanto, u =0 en D, esto es,  = .

Estabilidad de la solución. Sean l, T, D Y L como en el principio del máximo y mínimo para la ecuación del calor, Sean ÎC (0,l]) y ÎC([0,T]) tales que

 

Sean   y   dos soluciones clásicas de la ecuación del calor verificando las condiciones:

       

 

Entonces      

 

DEMOSTRACIÓN: Por hipótesis y por el principio del máximo y mínimo se verifica en todo D que

Ecuación de calor no homogénea

Consideremos el problema no homogéneo para la ecuación del calor

                8.13

Buscamos una ecuación que se pueda escribir de la forma

u (t,x) = u_n (t) sen

Supongamos que las funciones f(x) y F(t,x) se pueden desarrollar en la forma

 

f (x) =  a_n sen              y      F (t,x) =    b_n (t) sen

Donde

a_{n =}   f (s) sen ds              _y        b_n (t) ₌  F (t,s) sen ds

 

Sustituyendo todas estas expresiones en la ecuación del calor se obtiene

(u´_n (t) +   u_n (t))sen  =    b_n (t) sen

Y por tanto

u´_n (t) +   u_n (t) = b_n (t)   " n Î lN

 

 

Por otra parte, de la condición inicial u(0,x) = f(x) se obtiene que u_n(0) = a_n " n Î lN. Con todo ello, para cada n Î lN se tiene el problema de valor inicial.

 

Cuya solución es

 

u_n (t) = a_n   t +  b_n (s)  ( t-2) ds

Y sustituyendo este valor en u (t,x) obtenemos la solución formal

u (t,x) = { a_n   t +  b_n (s) ( t-s) ds }sen

 

Ecuación de calor con condiciones de frontera no homogéneas

Consideremos el siguiente problema para la ecuación del calor

                                  

 

 

Sea       v (t,x) = h₁ (t) +  [h₂ (t)- h₁(t) ]. Entonces la función

z(t,x) = u(t,x)- v(t,x)

 

es solución del problema con condiciones homogéneas

 

 

 

que es del tipo (8.13). Nótese que una vez calculada la función z, es conocida la función u solución de nuestro problema inicial.

 

Ecuación de Ondas  1-dimensional

Consideremos el problema de la vibración de una cuerda de longitud finita l, sobre la que no actúa ninguna fuerza externa. Su pongamos que en el instante inicial t =0 la cuerda tiene una forma dada por la función  f(x) y que cada uno de sus puntos posee una velocidad representada por  g(x). Finalmente supongamos que la cuerda permanece fija en sus extremos. Las oscilaciones verticales de la cuerda pueden ser representadas por una función u(t,x) que tal y como vimos en el capítulo anterior satisface la ecuación y las condiciones iniciales y de contorno.

 

 (EO)    

 

Aplicaremos el método de separación de variables para obtener la solución formal de (EO). Como siempre, suponemos que la solución se puede escribir en la forma u(t,x)=T(t)X(x). Al derivar y sustituir en la ecuación de ondas obtenemos las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias para T (t) y X (x)

X´´ (x) = -lX (x)                             (8.14)

 

T´´ (t)+lc²T(t)=0                            (8.15)

Las condiciones de frontera forman junto con la ecuación (8.14) el siguiente problema regular de Sturn-Liouville

el cual admite como autovalores l_n=  y como autofunciones las funciones trigonométricas Xn (x) = sen

Sustituyendo estos valores de l_n en (8.15) se tiene

T´´ (t) + ( )^2  T (t) = 0 para cada n=1,2,3,…

 

La solución general de esta ecuación es

T (t) = a_n cos   + b_n sen

 

La solución formal de (EO) es entonces

u (t,x) = ( a_n cos   + b_n sen ) sen                                          ^(8.16)

 

Al imponer las condiciones iniciales u (0,x) = f (x) y u_t (0,x) = g (x) se obtiene

u (0,x) = f (x) = a_n sen

 

y

u_t (0,x) = g (x) =   b_n sen

 

 

Por tanto, a_n es el n-ésimo coeficiente de Fourier de la función f,  mientras que b_n es el n-ésimo coeficiente de Fourier de la función g, es decir,

 

                                                  

Y

                                                 

Sustituyendo estas expresiones en (8.16) obtenemos la solución formal del problema (EO).

 

 

Existencia, Unicidad y Estabilidad de Solución. Si f Î C²([0,l]), admite derivada continua tercera a trozos en [0,l] y f (0) = f (l) = f´´ (l) = 0 y si g Î C¹([0,l])  admite derivada segunda continua a trozos y g (0) = g (l) = 0, entonces (8.16) es la única solución del problema (EO). Además, esta solución es estable respecto de los datos iniciales, es decir, pequeñas variaciones en las funciones f y g originan pequeñas variaciones en la solución.

 

8.3.4    Calor versus Ondas: un poco más de física ... y de matemáticas.

 

Nos ocuparemos en esta sección de estudiar algunas propiedades físicas de la ecuación de ondas y también contrastaremos dichas propiedades con sus análogas para la ecuación del calor.

     La fórmula de d’Alembert para la ecuación de ondas está dada por

 

                     (8.20)

 

Es muy fácil convencerse de que si  y , entonces la función dada en (8.20) es solución del problema de valores iniciales

 

        

 

Observemos también que con las fórmulas trigonométricas que relacionan el producto seno-coseno y seno-seno, la fórmula de Bernoulli (8.19) se rescribe en la forma de d’Alembert

 

 

 

 

  .

 

A la vista de estas dos representaciones para la solución de la ecuación de ondas, es natural preguntarse por qué usar la fórmula de Bernoulli si disponemos de la fórmula más sencilla de d’Alembert. Hay dos razones principales que nos llevan a no desechar la representación en serie de funciones dada la fórmula de Bernoulli:

 

• Por un lado, el método que usamos para obtener la fórmula de d’Alembert no es válido para otro tipo de ecuaciones, ni tan siquiera para la propia ecuación de ondas en dimensión superior a uno o al incluir condiciones de contorno.

 

 

• Por otro lado, mientras que la fórmula de d’Alembert nos dice lo que vemos cuando miramos a una cuerda vibrando, la de Bernoulli nos dice lo que oímos cuando escuchamos la guitarra sonar. La representación de la solución en serie de funciones descompone una onda de sonido en sus componentes de diferentes frecuencias. Usualmente, uno escucha el primer sumando de (8.19), el cual es el tono fundamental a frecuencia (2pc)/L, y junto a él el resto de tonos de menor intensidad y de frecuencia (2npc)/L, n > 1.

 

  No obstante, de la fórmula de d’Alembert también podemos extraer algunas otras consecuencias importantes. A la vista de la solución dada en (8.20), es claro que si la posición inicial de la cuerda, representada por medio de la función , tiene alguna singularidad, entonces dicha singularidad se propaga. La ecuación de ondas no es capaz de suavizar o regularizar los datos iniciales. De hecho, a la vista de (8.20), se tiene que la solución  tiene la misma regularidad que el dato inicial  y gana una derivada respecto a . El comportamiento de los procesos de difusión es bien distinto: la difusión de calor tiende a suavizar cualquier singularidad en los  datos iniciales. En efecto, la serie de funciones mediante la cual se define la solución de la ecuación del calor contiene un término del tipo  lo que provoca que la función que ésta serie define sea de clase . Es el famoso efecto regularizante de la ecuación del calor. Este efecto regularizante implica también la irreversibilidad en tiempo de la ecuación del calor. Así, si fijamos una temperatura inicial en un tiempo T > 0, entonces en general no es posible integrar la ecuación  en el intervalo , esto es, hacia atrás en el tiempo. Si dicha integración fuese posible, entonces debido al efecto regularizante de la ecuación del calor obtendríamos que es una función de clase  lo cual nos indicaría que todos los datos iniciales en t = 0 para la ecuación del calor son funciones muy regulares. Por supuesto, en general esto no es cierto. Podemos integrar la ecuación del calor hacia delante en el tiempo a partir de datos iniciales de hecho muy irregulares. En la ecuación de ondas, por el contrario, si cambiamos  por  obtenemos la misma EDP y entonces si que es posible ir atrás en el tiempo y averiguar el pasado de las ondas.

   La energía, cinética más la potencial elástica, en el tiempo  de una cuerda elástica de longitud L que está vibrando es, salvo una constante,

 

                       

 

Más adelante veremos que esta energía se conserva con el paso del tiempo. La ecuación del calor se comporta, en este sentido, justo al revés: como hemos visto en las secciones anteriores, una barra metálica que inicialmente está a una temperatura dada tiende a enfriarse, a disipar toda su energía.

   Por último, nos ocuparemos de la velocidad a la que se propagan las ondas y el calor. Nos es difícil comprobar, al menos formalmente, que la función

 

                                  (8.21)

 

es la solución del problema de valor inicial

 

                            

 

 

 

 

 

La fórmula (8.21)nos dice que el valor de la temperatura en cualquier instante  depende de todos los valores de , con , esto es, de la temperatura en el instante inicial. Este hecho puede ser interpretado diciendo que el calor se propaga a velocidad infinita. Por su parte, la fórmula de d’Alembert (8.20) nos dice que  depende únicamente de lo que le sucede a en los puntos  y , y a  en el intervalo . Nos encontramos pues ante un fenómeno de propagación a velocidad infinita. Este hecho tiene una gran importancia en la teoría de control exacto de sistemas gobernados por EDPs. Así, debido a la velocidad infinita de propagación de las ondas, los sistemas hiperbólicos tipo la ecuación de ondas necesitan de un tiempo mínimo para poder ser controlados si actuamos únicamente sobre la frontera de los mismos. En cambio, los sistemas parabólicos tipo calor pueden ser controlados en un tiempo infinitamente pequeño actuando también únicamente sobre su frontera.

    Podemos resumir gran parte de lo dicho en esta sección en el siguiente cuadro:

 

	Calor	Ondas
Efecto regularizante	Sí	No
Reversibilidad en tiempo	No	Sí
Conservación de la energía	No	Sí
Velocidad de propagación	Infinita	Finita

 

 

 

8.4        Ecuación de Laplace en Dimensión 2

 

En esta última sección nos ocuparemos del estudio de las ecuaciones de Laplace y de Poisson. Nos limitaremos al cálculo de la solución de dichas ecuaciones en un par de recintos planos muy particulares: un rectángulo y un recinto circular.

 

Ecuación de Laplace en un Rectángulo

 

Sea D el rectángulo

 

                       

 

 

y consideremos el problema

                                                                                                                

                                  

Supongamos que la solución de este problema se puede escribir en la forma  u(x,y)=X(x)Y(y). Derivando y sustituyendo en la ecuación de Laplace se obtiene que X”Y+XY”=0 , y por tanto:

.

Al imponer las condiciones de frontera u(0,y)=u(l,y)=0 se obtiene que la función X(x) ha de ser solución del problema regular de Sturm-Liouville

mientras que la función Y ha de ser solución de la ecuación .

            Los autovalores del anterior problema de Sturm-Liouville son

Y las correspondientes autofunciones son .

            Por otra parte, la solución general de la ecuación

 

 

expresada en términos de las funciones seno y coseno hiperbólicos es

Recuérdense las fórmulas

  ,  .

Con todo ello se tiene que la solución formal de nuestro problema es

        (8.22)

donde aún faltan por determinar los coeficientes  y  para que se satisfagan las condiciones de frontera   y   . Para ello calculamos los desarrollos en serie de Fourier seno de las funciones  y  , esto es,

       y      .

Imponiendo las condiciones de frontera antes mencionadas se obtiene que

   y 

que conducen a

  y  

y sustituyendo estas fórmulas en (8.22) se obtiene la solución formal de nuestro problema.

 

Ecuación de Laplace en coordenadas polares

            Para el estudio de problemas relacionados con la ecuación de Laplace en “dominios circulares” tales como un círculo, una corona circular o un dominio Ω del tipo

es conveniente escribir el Laplaciano en coordenadas polares. En dichas coordenadas la ecuación de Laplace se escribe en la forma

.

Consideremos el problema

Nótese que por simplicidad hemos tomado  en la dirección de Ω.

            Como siempre en nuestro esquema de separación de variables, buscamos una solución que se pueda escribir en la forma . Derivando, sustituyendo en la ecuación de Laplace e imponiendo las condiciones de frontera homogéneas se tiene que  ha de ser solución del problema de Sturm-Liouville

 

 

 (8.23)

mientras que R® ha de ser solución de

.   (8.24)

El problema de Sturn-Liouville (8.23) es un viejo conocido que tiene por autovalores  y por autofunciones .

Por otra parte, la ecuación (8.24) es un caso particular de un tipo de ecuación conocida como ecuación de Euler, la cual en su versión más general adopta la forma

.           (8.25)

Como solución de esta ecuación se propone la función . Si sustituimos en la ecuación anterior se tiene

    con lo cual si  y  son dos raíces distintas del

 

polinomio  entonces la solución general de (8.25) es   y si , entonces la solución general de (8.25) es , siendo  y  dos constantes arbitrarias.

            Por tanto, la solución general de la ecuación(8.24), donde hemos de poner , es

.

Con todo ello, la resolución formal de nuestro problema de Laplace es

.

Sólo resta elegir los coeficientes  y  para que se verifiquen las condiciones de frontera   y  . Para ello calculamos los desarrollos en serie de Fourier seno de las funciones  y . Se tiene

    y  

e imponiendo las condiciones de contorno anteriores se ha de verificar

   y  

de donde se obtienen los coeficientes   y  .